Avenarius war der Sohn eines Buchhändlers und Stiefneffe Richard Wagners. Die Schulzeit verbrachte er in Berlin und Dresden. Wegen Kränklichkeit musste er das Gymnasium ohne Abschluss verlassen und sich autodidaktisch weiterbilden. 1877 begann er ein Studium der Naturwissenschaften in Leipzig; 1878 wechselte er nach Zürich und studierte (ohne Ab...